Semana 4

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<br>
.right[
# Semana 4
### <br> Variables Instrumentales y Regresión Discontinua
]
<br> <br> <br> <br> 
.left[DCDPP - Datos para la evaluación de Políticas Públicas | PUC | 28 de octubre, 2022]
<hr> 
.left[
<svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 448 512" style="height:1em;width:0.88em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:white;overflow:visible;position:relative;"><path d="M224 256c70.7 0 128-57.31 128-128s-57.3-128-128-128C153.3 0 96 57.31 96 128S153.3 256 224 256zM274.7 304H173.3C77.61 304 0 381.6 0 477.3c0 19.14 15.52 34.67 34.66 34.67h378.7C432.5 512 448 496.5 448 477.3C448 381.6 370.4 304 274.7 304z"/></svg> <b>Pablo A. Celhay</b> |  [<svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:white;overflow:visible;position:relative;"><path d="M464 64C490.5 64 512 85.49 512 112C512 127.1 504.9 141.3 492.8 150.4L275.2 313.6C263.8 322.1 248.2 322.1 236.8 313.6L19.2 150.4C7.113 141.3 0 127.1 0 112C0 85.49 21.49 64 48 64H464zM217.6 339.2C240.4 356.3 271.6 356.3 294.4 339.2L512 176V384C512 419.3 483.3 448 448 448H64C28.65 448 0 419.3 0 384V176L217.6 339.2z"/></svg> pacelhay@uc.cl](mailto:pacelhay@uc.cl)
]

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  pacelhay@uc.cl | <svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:white;overflow:visible;position:relative;"><path d="M256 0C114.6 0 0 114.6 0 256s114.6 256 256 256s256-114.6 256-256S397.4 0 256 0zM199.2 312.6c14.94 15.06 34.8 23.38 55.89 23.38c.0313 0 0 0 0 0c21.06 0 40.92-8.312 55.83-23.38c9.375-9.375 24.53-9.469 33.97-.1562c9.406 9.344 9.469 24.53 .1562 33.97c-24 24.22-55.95 37.56-89.95 37.56c0 0 .0313 0 0 0c-33.97 0-65.95-13.34-89.95-37.56c-49.44-49.88-49.44-131 0-180.9c24-24.22 55.98-37.56 89.95-37.56c.0313 0 0 0 0 0c34 0 65.95 13.34 89.95 37.56c9.312 9.438 9.25 24.62-.1562 33.97c-9.438 9.344-24.59 9.188-33.97-.1562c-14.91-15.06-34.77-23.38-55.83-23.38c0 0 .0313 0 0 0c-21.09 0-40.95 8.312-55.89 23.38C168.3 230.6 168.3 281.4 199.2 312.6z"/></svg> PUC-Escuela de Gobierno 2022</a>
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</div>

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#.pull-left[.center-l[Outline]]

1. [Diseño experimental](#de)

2. [Variables Instrumentales](#vi)

3. [Regresión Discontinua](#rd)

]]]

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## Gertler

- Las CCT promueven el cambio en comportamiento que pueden beneficiar a niños(as): más visitas médicas y mayor asistencia escolar

- México implementa el PROGRESA  en el año 1997 para mejorar condiciones de vida en la población más pobre

- Etapa 1: Identifica comunidades pobres, Etapa 2: Identifica hogares más vulnerables en estas comunidades

- A hogares elegibles PROGRESA paga una transferencia equivalente a 20-30% del ingreso promedio de un hogar:

1. Si niña entre 0-23 meses recibe inmunización y visita el consultorio cada 2 meses
  2. Si la niña entre 24-60 meses visita el consultorio cada 4 meses
  3. Si la mujer embarazada visita el consultorio durante su primer trimestre
  4. ...

---

## Antes de ver el detalle...

- Pensemos junt@s la regresión que Gertler debería correr

- ¿Cuál es la pregunta de impacto aquí? 
--
 Principalmente, ¿Cuál es el efecto del PROGRESA en salud?
 
--

- ¿Qué datos necesitamos?

- Con estos datos, ¿cómo escribimos la regresión para el análisis de impacto?

- ¿Cómo estimamos esta regresión? 
--
 ¿Qué supuestos hay detrás?
 
--

-  `$y_i = \alpha + \delta D_i + \varepsilon_i$`

- ¿Qué es `$y_i$`?

- ¿Qué es `$i$`?

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## 1. Diseño experimental

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## Diseño experimental

- ¿Porque aleatorizar este programa?

- Implementación del PROGRESA

1. Problemas de presupuesto permiten dejar grupos fuera/esperando

2. PROGRESA se implementó cómo un "phased roll-out". ¿Qué significa esto?

3. ¿Cómo elegir cuáles comunidades entran primero?

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## Diseño experimental

- Diseño experimental

1. Selección aleatorio de 320 comunidades para tratamiento y 185 para control

2. 7 Estados del país aceptan forman parte de la implementación

3. Hogares reciben inmediatamente los beneficios y el grupo de control debe esperar 2 años

---

## Diseño experimental

- Si la aleatorización funcionó, las características del grupo de control y tratamiento deberían ser similares

- Esto, ¿puede *testearse*?
--
 Al menos para características observables se puede. Esto se conoce como "revisar balance" de la muestra
 
--

- En el caso del PROGRESA, es complicado pues el tratamiento fue estratificado por Estado

- Fue hecho al nivel de comunidad pero los datos son recolectados a nivel individual

---

## Diseño experimental

- Recuerde que la aleatorización hace que la distribución condicional de `$Y_0$` y de `$Y_1$` condicional en `$D_i$` sea igual a la distribución incondicional

`$$E(Y_{1i} | D=1) = E(Y_{1i} | D=0) =  E(Y_{1i})$$`

`$$E(Y_{0i} | D=0) = E(Y_{0i} | D=1) =  E(Y_{0i})$$`

- ¿Qué nos permite esta condición?
--
 estimar ATE

- Lo mismo se sostene para cualquier `$X$`

`$$E(Y_{1i} | X) =  E(Y_{1i})$$`

`$$E(Y_{0i} | X) = E(Y_{0i})$$`

- Por esta razón se reporta el "balance en las Xs". Por ejemplo mostrar `$\hat{E[X_i]}$` para cada grupo

---

## ¿Qué información nos entrega esta tabla?

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## Estimando ATE

- Podemos estimar el ATE con una simple regresión lineal:

`$$Y_i = \alpha + \delta D_i + \varepsilon_i$$`

- Donde
`$$\begin{align*}
\delta & = E(Y_{1i}|D_i =1) - E(Y_{0i}| D_i=0)\\
&= E(Y_{1i}) - E(Y_{0i})\\
& = \Delta^{ATE}
\end{align*}$$`

- La segunda igualdad viene de la aleatorización de `$D_i$`

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## Resultados

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## Resultados

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## Conclusiones

<br>

- Efectos en salud de las transferencias condicionadas

- Pero, ¿cuáles son los mecanismos?

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## 2. Variables Instrumentales

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## Variables Instrumentales

**Visión tradicional**

- Repasemos el modelo de regresión lineal estándar:

`$$Y_i= \delta D_i + X_i\beta+\epsilon_i$$`

- dónde `$Y_i$` es la variable de resultado, `$D_i$` es la variable de interés, y `$X_i$` es un vector de controles que incluye una constante y dónde `$cov(X,\epsilon)=0$`

- Si `$Cov(D,\varepsilon) \neq 0$` entonces decimos que ...
--
 `$D$` es endogeno y estimadores MCO... ¿? 
--
 es sesgado e inconsistente.

- Esto puede ocurrir por distintas razones: variable omitida, error de medición, simultaneidad, sesgo de selección, etc.

---

## Variables Instrumentales

- Podemos pensar en la variable `$D$` cómo:

- `$D_i= B_i\varepsilon_i + C_i$`

- dónde `$cov(C,\varepsilon)=0$` Reemplazando en la regresión anterior tenemos que:

- `$Y_i= \delta C_i + X_i \beta + \underbrace{(1-\delta B_i)\varepsilon_i}_{v_i}$`

- Si observáramos los componentes de `$D_i$` podríamos correr una regresión de `$Y$` sobre `$C$` y obtener `$\delta$`

- Pero en la realidad no observamos los componentes de `$D_i$`. Lo mejor que podemos hacer es buscar una variable instrumental.

---

## Variables Instrumentales

- La idea detrás de IV es la de encontrar una variable que este correlacionada con `$C$` (la parte exógena de `$D$`) pero no correlacionada con `$\varepsilon$`

- Entonces `$Z$` es un instrumento para `$D$`, cuando:
  - Restricción de exclusión: `$Cov(Z,\varepsilon)=0$`. Condicionando en `$D$` y `$X$`, `$Z$` no está correlacionada con `$\varepsilon$`
  - Condición de instrumento: `$Cov(Z,D)\neq0$`. `$Z$` está correlacionada con `$D$`
  
- Con estas dos condiciones podemos usar MCO en dos etapas para estimar `$\delta$`

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## Variables Instrumentales

La restricción de exclusión afirma que `$Z$` afecta a `$Y$` sólo a través de `$D$`. `$Z$` no puede afectar `$Y$` a través de otros canales y opor eso se "excluye" de la regresión de `$Y$` sobre `$D$`.

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## MCO en 2 etapas

- En la primera etapa estimamos una regresión de la variable endógena `$D$` con todas las variables exógenas `$X$` incluyendo `$Z$`:

**1E:** `$D_i=\alpha Z_i + X_i \lambda + v_i$`

- Predecimos los valores de `$D_i$` en esta regresión, `$\hat{D}_i$`.

- En la segunda etapa, estimamos una regresión de la variable de resultado sobre el valor predicho `$\hat{D}_i$`. y las otras `$X$`

**2E:** `$Y_i=\delta \hat{D}_i + X_i \beta + \varepsilon_i$`

- `$\hat{\delta}$` es el estimador de IV

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## Asignación aleatoria como IV

- En clase

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## Ejemplo

**Angrist (1990)**

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## Ejemplo: Ejemplo: Efecto de Servicio Militar sobre Salud y Salarios

- Muchos programas en EE.UU ofrecen servicios de salud, educación, capacitación a veteranos de guerra en parte para compensar por las desventajas a las que estuvieron expuestos por ir a la guerra o al servicio militar

- Por ir al servicio, tienen menos años de experiencia laboral y no reciben la misma compensación que otros no veteranos(as) de la misma edad.

- La pregunta de investigación de esos estudios es: ¿Cuál es el efecto del servicio militar sobre la salud y salarios de los veteranos?

- La pregunta de política pública es: ¿Son los veteranos compensados de manera adecuada?

- ¿Por qué creen que sería difícil estudiar etas preguntas mediante un simple MCO?

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## Usando la selección mediante lotería cómo instrumento

- El Departamento de Defensa de EE.UU implementó cinco loterías para la guerra de Vietnam en 1970 a 1975  enfocadas en hombres de 19-20 años. 
  - La de 1970 se enfoco en hombres nacidos en 1950; la de 1971 en hombres de 1951,...

- En las loterías, se asignaron Número aleatorios mediante un muestreo aleatorios de cumpleaños y enumerándolos del 1 al 365
  - Se seleccionaron puntos de corte para cada año y todo aquél por debajo del corte fue seleccionado para ir a la guerra
  - 1970: RSN 195, 1971: RSN 125, 1972: RSN 95

- Angrist construye el siguiente instrumento `$Z$`: `$ELIG_i = 1$` si `$RSN< c$` y `$=0$` en caso contrario.
--
 ¿Que quiere instrumentar Angrist?
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 El hecho de que un hombre haya ido o no al servicio militar

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## Primera etapa

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## Segunda etapa

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## Efectos de largo plazo

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## Efectos en salud

- Hombres blancos nacidos en 1950 que fueron a Vietnam por la lotería tuvieron una probabilidad de 0.56% mayor de morir luego de la guerra

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## Un check list para la estimación de IV

- ¿Es el supuesto de asignación aleatoria válido para el caso de Vietnam?
--

- Si, las loterías fueron esencialmente aleatorias

- ¿Cómo es la restricción de exclusión en este caso?

- Se invalidaría si es que salarios o salud de los hombres con bajo RSN se vieran afectados de alguna otra forma distinta a su participación en la guerra. ¿Hay algún ejemplo en que esto pase?
--
 Difícil

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## Un check list para la estimación de IV

- ¿Cómo es la condición de instrumento en este caso? ¿Hay relación entre la lotería e ir a la guerra?
--

- Si, los datos muestran que aquellos con RSN bajo el corte tienen mayor probabilidad de ir a la guerra

- ¿Cómo es la restricción de exclusión en este caso?

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## 3. Regresión Discontinua

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## Regresión Discontinua (RD)

- Un diseño de regresión discontinua es una estrategia de identificación muy poderosa, convincente y aplicable a un gran rango de situaciones

- Es común observar que el acceso o los incentivos a participar en un programa están basados en reglas transparentes de un criterio utiliza puntos de corte
--
 ¿Caso más claro cuando uno postula a una carrera en la U?

- Comparar individuos similares pero en distintos lados de este punto de corte puede ser una forma creíble de estimar efectos de un tratamiento.

- RD funciona bien para validez interna
--
 ¿Qué es esto?
--
 pero no mucho para validez externa

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## RD Sharp

**Ejemplo 1: ¿Cuál es el efecto de ser incumbente en la probabilidad de ganar la siguiente elección?**

- ¿Cuál es la probabilidad de que una PC/PPD/UDI gane la próxima elección dado que una PC/PPD/UDI gano la última elección?

- Siguiendo nuestra terminología:

- `$Y_i$`: probabilidad de ganar la elección en `$t+1$` en el distrito `$i$`
  - `$D_i = 1$` si la última elección la ganó un PC/PPD/UDI 
  - ¿Es `$D_i$` asignado de manera aleatoria en la realidad?
  - ¿Cómo podemos estimar el efecto causal de `$D_i$` sobre `$Y_i$` ?

- Lee (2008) compara resultados electorales en casos donde la elección anterior fue ganada por un margen muy pequeño

---

## Visualización: ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar?

- `$D_i = 1$` si la última elección (tiempo `$t$`) la ganó un demócrata 
- `$X_i$`: es la variable de asignación (o **running variable**) en el eje x

---

## Visualización: ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar?

- `$Y_i$` : es la probabilidad de que un demócrata gane en `$t+1$` en el distrito `$i$` 
- `$X_i$`: es la variable de asignación (o **running variable**) en el eje x

---

## RD Sharp

- `$D_i \in \{0,1\}$`: Tratamiento

- `$X_i$`: variable de asignación que determina de manera perfecta el valor de `$D_i$`. Sea `$c$` un punto de corte de esta variable `$X_i$`\\

`$D_i = 1\{X_i>c\}$` o bien `$D_i=1$` si `$X_i>c$` y `$D_i=0$` si `$X_i\geq 0$`

- `$X_i$` puede estar correlacionado con `$Y_{1i}$` o `$Y_{0i}$` de manera directa o a través de variable no observadas.

- La intuición clave y básica es que en el punto de corte `$X_i=c$`, el hecho de que una unidad de análisis sea tratada ($D_i=1$) y otra no ($D_i=0$) es similar a un proceso aleatorio

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## RD Sharp

**Ejemplo 2: ¿Cuál es el efecto de becas para la Universidad?**

- Las becas se dan en función de los resultados de un test de admisión a la Universidad (PSU)

- `$Y_i$`: Salarios post universidad
  - `$D_i = 1$` si la unidad `$i$` recibe la beca
  - `$Y_{1i}$`: Salarios potenciales con beca
  - `$Y_{0i}$`: Salarios potenciales sin beca

- `$Y_{1i}$` y `$Y_{0i}$` están correlacionados con `$X_i$`:
--
 ¿Por qué?
--
 en promedio alumn@s con mejor PSU tienen mayores salarios.

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## Visualización: ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar?

- `$D_i = 1$` si obtiene beca
- `$X_i$`: es la variable de asignación (o **running variable**) en el eje x: Puntaje PSU

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## RD Sharp

- Supuesto clave: Continuidad en los resultados potenciales 
  - `$E(Y_{i}|X=x_i)$` es continua en `$x$` alrededor de `$X_i=c$`

- El estimador causal: ATE local alrededor del punto de corte:

`$\tau_{srd}=$`
--
   ¿Cómo es ATE? ¿Cómo sería el estimador en el corte?

`$\tau_{srd}=E(Y_{1i}-Y_{0i}|X=c)$`
--
  - ¿Validez externa?

- Si tenemos continuidad en `$X_i$`
--

`$$\tau_{srd}=lim_{x \to c^{-}} E(Y_{i}|X=x) - lim_{x \to c^{+}} E(Y_{i}|X=x)$$`
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